ملعب كرة السلة

فيعالمالرياضيات،تُعتبرالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)منالمفاهيمالأساسيةالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادعلىنطاقواسعفيالفيزياءوالهندسةوالعديدمنالمجالاتالعلميةالأخرى.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.

ماهيالأعدادالمركبة؟

العددالمركبهوأيعدديمكنكتابتهبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيمنالعدد(RealPart).
-bهوالجزءالتخيليمنالعدد(ImaginaryPart).
-iهيالوحدةالتخيلية،حيث(i^2=-1).

علىسبيلالمثال،العدد(3+4i)هوعددمركب،حيثالجزءالحقيقيهو3والجزءالتخيليهو4.

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   [(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]

   

2. الضرب:
   عندضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
   [(a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]

3. المرافقالمركب(ComplexConjugate):
   مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هو(\overline{ z}=a-bi).يُستخدمالمرافقفيتبسيطالقسمةبينالأعدادالمركبة.

4. المقياس(Modulus):
   مقياسالعددالمركب(z=a+bi)هوالمسافةبينالنقطة(a,الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحشاملb)والأصلفيالمستوىالمركب،ويُحسببالعلاقة:
   [|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.

هذاالتمثيليُعرفبـالمستوىالمركبأومخططأرجاند(ArgandDiagram).

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
2. معالجةالإشارات:تساعدفيتحويلاتفورييه(FourierTransform).
3. الميكانيكاالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتالموجة.

الخلاصة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمأدواتقويةلحلالمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفينطاقالأعدادالحقيقية.بفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنناالاستفادةمنهافيمجالاتمتعددة.

إذاكنتمهتمًابتعلمالمزيد،يُنصحبالتعمقفيدراسةالجبرالخطيوالتحليلالمركب!